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Los fractales del conjunto de Mandelbrot

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Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Mensaje  pepe2982 el Dom Nov 15, 2009 12:37 am

Existen objetos -como las nubes, las montañas o las líneas costeras- que resultan extraordinariamente complicados de ser modelados matemáticamente. El caos que contienen hacen que la matemática tradicional sea incapaz de abordarlos correctamente. Afortunadamente, existe una rama especial de las matemáticas que se ocupa de estos temas, cuyo exponente más representativo son los fractales del conjunto de Mandelbrot, que nos abren una puerta hacia un maravilloso y desconocido mundo.

Cuando vemos un árbol, una nube o una montaña, no tenemos dudas que ese objeto que tenemos enfrente es -efectivamente- un árbol, una nube o una montaña. Es extraño que esto suceda, por que se trata de objetos que nunca se repiten. Por más que busquemos, jamás veremos dos que sean exactamente iguales. Sin embargo, tienen determinadas propiedades que nos permiten reconocerlos como tales. El conjunto de esas propiedades comunes coincide con los de unos objetos matemáticos descubiertos hace más de 100 años, que se llaman, en general, fractales. El exponente más conocido de los fractales es el conjunto de Mandelbrot.


Estos objetos casi siempre pueden construirse a partir de una figura inicial o “semilla”

La historia de los fractales comienza en 1872, con la aparición de la función de Weierstrass. En esa época no existía el concepto de fractal, pero su grafo contiene, sin dudas, características que lo convierten en miembro de ese club. Posteriormente se descubrieron objetos con propiedades similares, casi siempre como curiosidades matemáticas pero con una definición más estricta desde el punto de vista geométrico.



Estos objetos casi siempre pueden construirse a partir de una figura inicial o “semilla”, a la que se aplican una serie de transformaciones geométricas sencillas. Cuando el numero de pasos es lo suficientemente alto, la figura obtenida es lo que hoy llamamos un fractal. En 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass, a la que llamo “el copo de nieve de Koch”. Años más tarde, en 1915, Waclaw Sierpinski construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra. Pero todos esos objetos empalidecen a la par de los descubiertos en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot.


Una serie de transformaciones geométricas sencillas producen esto.

Mandelbrot se inspiró en los trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia, que en los años 1920 ya habían logrado construir fractales sumamente complejos a partir de la aplicación reiterada de funciones holomorfas. No vamos a mostrarte aquí las ecuaciones, pero no son tan complejas como los gráficos pueden hacer presuponer.


Un fractal debe poseer detalles apreciables a cualquier escala de observación.

En la actualidad, se dice que un objeto matemático es un fractal si cumple con las siguientes condiciones: ser lo suficientemente irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales, poseer detalles apreciables a cualquier escala de observación, ser autosimilar (sus partes se parecen al todo), poseer una dimensión de Hausdorff-Besicovitch mayor que su dimensión topológica y poder ser definido mediante un simple algoritmo recursivo.


Las imágenes en 3D son increíbles.

No nos basta con cumplir solo una o algunas de estas estas características para que un objeto sea considerado un fractal. La recta, por ejemplo, no se considera un fractal, ya que a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de las características enumeradas. Actualmente, los ordenadores y su potencia de cálculo han hecho posible la generación de imágenes fractales con prácticamente cualquier nivel de detalle y en tiempos relativamente cortos.


¿Brócoli? No. ¡Un fractal!

Lejos han quedado los tiempos en que Fatou o Julia se quemaban las pestañas frente a un papel intentando dibujar sus fractales. Un algoritmo (en pseudocódigo) como el siguiente permite crear fractales del conjunto de Mandelbrot en dos dimensiones:

For each pixel on the screen do:
{
x0 = x co-ordinate of pixel
y0 = y co-ordinate of pixel
x = 0
y = 0

iteration = 0
max_iteration = 1000

while ( x*x y*y <= (2*2) AND iteration < max_iteration )
{
xtemp = x*x - y*y x0
y = 2*x*y y0
x = xtemp
iteration = iteration 1
}

if ( iteration == max_iteration )
then
color = black
else
color = iteration
plot(x0,y0,color)
}

Cualquiera que haya escrito alguna vez un simple programa en BASIC o C puede adaptar este algoritmo en minutos para dibujar sus propios fractales. Pero en tiempos más recientes, algunos programadores han comenzado a generar estas figuras utilizando tres dimensiones. El algoritmo es mucho más complicado y escapa al nivel de este pequeño artículo, pero las imágenes obtenidas son de una belleza innegable.


Otro ejemplo de un fractal tridimensional.

Como puedes ver, la matemática no tiene porque ser fría o aburrida. Tíos como Benoît Mandelbrot o Gaston Julia han convertido los no siempre queridos números en objetos tan ricos y complejos que algunos hasta los consideran obras de arte. ¿Qué te parece?

Enlaces
Más fractales en 3D en Skytopia

Fuente

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Re: Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Mensaje  Don Sapo el Dom Nov 15, 2009 1:38 am

Pepe: Perdoname el tono sardónico en este despliegue de maravillas o descubrimientos sobre fractales. Pero dada mis limitaciones para seguir cuestiones matemáticas o, peor, algorítmicas, si quiero comentar algo, no me queda otra que expresar:

¡Y lo que aún les resta por descubrir!

Porque QUIERO VER cómo "traducen" en fractales o algoritmos la formación de los diversos árboles y hasta animales!

Que ¿por qué digo esto? Simple: Si la cadena genética es muy similar en todo ser vivo, FÁCIL se la puede asociar como un "fractal complejo" que, según pequeñas variantes, se diferencia un humano de ratón y hasta de los parásitos. Aunque, lamentablemente, en muchos la diferencia es más que nada física, porque psicológica y conductualmente, se aproximan más a lo otro. ¡Lo digo por experiencia! Porque infinidad de veces me han tildado de ratón y parásito.

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Re: Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Mensaje  pepe2982 el Dom Nov 15, 2009 8:09 am

No, pará un poquito, estos son fractales matemáticos, y para simular un objeto real debe ser complicadísimo, no es posible que quede tal cual. No se que máquina o software podría a llegar a hacer eso. Es solo para algunas imágenes tanto en 2D o 3D pero de uso más artístico que para imitar algo real.

Se denomina Conjunto de Mándelbrot a una serie de puntos del plano complejo que cumplen una determinada característica.

Definamos la siguiente función


Z(n 1) = Z(n) * Z(n) C

siendo C -> número complejo (a,bi)
Z(n) -> número complejo (a,bi)
Z(0) -> 0,0i

en ella a partir de un número complejo C, obtenemos una sucesión de números complejos Z(1), Z(2), Z(3),..., Z(n), Z(n 1), en cuyo cálculo siempre interviene C. En teoría al realizar los cálculos tendríamos que llegar hasta Z(infinito), como entenderás eso es imposible, así que nos conformaremos con llegar hasta Z(100), siendo esto correcto para obtener el conjunto de Mándelbrot.
Ahora definamos un plano de números complejos, donde los ejes de coordenadas y abscisas se corresponden con los valores real e imaginario de dichos números, siendo el número 0,0i el punto origen de coordenadas.
Definidos la función y el plano, consideraremos que un punto de dicho plano (número complejo x,yi llamémosle C), pertenece al conjunto de Mándelbrot cuando todos los valores Z(n) obtenidos mediante la función antes descrita se encuentran a una distancia del punto origen menor o igual que 2.
Dada la imposibilidad de representar todo el conjunto de los números complejos en la pantalla de la PC, (es un conjunto infinito), me veo obligado a seleccionar un número determinado de ellos. Solo sobre estos puntos seleccionados se comprueba su pertenencia o no al conjunto de Mándelbrot.
Los valores que seleccionamos dependen de los valores máximo y mínimo de las componentes real e imaginaria, (por defecto -1.6 < a < 2.0 , -2.0 < b < 2.0). Ahora bien, estos valores se pueden modificar mediante el efecto ZOOM . Al efectuar un ZOOM en el conjunto de Mándelbrot seleccionamos unos nuevos máximos y mínimos, lo que conlleva una nueva selección de números complejos, a los que aplicaremos la prueba de pertenencia al conjunto.
Efectuar ZOOM's de modo progresivo es la mejor manera de entender que dejamos una cantidad infinita de números complejos sin procesar, ya que acabamos encontrando mas y mas conjuntos de Mandelbrot en lugares en los que en un principio no hubiéramos imaginado. Para esto hay aplicaciones o soft determinados
Una de las cosas que mas impactan en los fractales es su colorido. En este conjunto de Mándelbrot, los colores asignados son el azul oscuro para los puntos que pertenecen al conjunto y para el resto una gama de colores diferentes que se asignan dependiendo de la iteración (Zn) en que el punto no ha cumplido la condición de pertenencia al conjunto de Mándelbrot.

El conjunto de Julia se puede considerar como otra familia de fractales. Cada punto del conjunto de Mándelbrot tiene su propio conjunto de Julia, el cual se obtiene de forma similar.
Definido y construido el conjunto de Mándelbrot con una cantidad finita de puntos complejos, a cada uno de los cuales nombraremos como "C", seleccionamos uno de ellos, que nombraremos como "J", para obtener su conjunto de Julia.

Definamos la siguiente función.

Z(n 1) = Z(n) * Z(n) J

siendo J -> punto complejo del Mandelbrot del que queremos obtener el
conjunto de Julia.
Z(0) -> C, valor del punto complejo en Mandelbrot

se considera que un punto C pertenece al conjunto de Julia del punto J cuando todos los valores Z(n) obtenidos mediante la función antes descrita se encuentran a una distancia del punto J menor o igual que 2. Esto, al igual que para el conjunto de Mándelbrot, con un límite de iteraciones de 100 "Z(100)" y aplicándolo a cada punto de los que tengamos seleccionados en ese momento en el conjunto de Mándelbrot.
Por motivos de contraste, los colores asignados al conjunto de Julia son Rojo para los puntos que se encuentran dentro del mismo y Negro para los que no.

Los mejores conjuntos de Julia se obtienen de los puntos del Mándelbrot que se encuentran en la frontera entre los que pertenecen al conjunto, representados en azul oscuro, y los que no.

Aquí tenes algunas aplicaciones gratuitas para generar fractales:

http://ultimate-fractal.softonic.com/
http://fractal-forge.softonic.com/
http://fractal-image-generator.softonic.com/
http://fractal4d.softonic.com/
http://chaospro.softonic.com/
http://fractalus.softonic.com/


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Re: Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Mensaje  Gwendoline Welden el Dom Nov 15, 2009 4:34 pm

Aunque me lo he leído todo, no termino de comprender lo que es un fractal...
Sin embargo, como me removía la curiosidad de ver lo que hacían los programitas, me he descargado uno de los que ha recomendado Pepe. Al abrirlo marqué algunos números, pulse algunas teclas, utilicé el zoom y me quedó esta imagen. Es bastante linda, pero no se como lo hice


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Re: Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Mensaje  Don Sapo el Dom Nov 15, 2009 5:07 pm

Básicamente, los fractales son una forma básica (cualquiera) con la cual se arman otras más grandes reiterándola constantemente en diversas posiciones. O sea: como un gran ladrillo armado de muchos ladrillos.

No sé si me estaré equivocando mucho y mal, pero ME PARECE que las cebollas, coles, alcauciles, coliflores y otras son fractales naturales. Ya que por más que le quitemos capa tras capa, seguimos hallando "lo mismo". O sea, que el todo es de una misma cosa que se repite.

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Re: Los fractales del conjunto de Mandelbrot

Mensaje  pepe2982 el Dom Nov 15, 2009 7:08 pm

Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Es decir, da como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita). Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas.
La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc,) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un fractal está constituido por elementos cada vez más pequeños, repetidos una y otra vez, el concepto de longitud no está claramente definido. Por más que queramos medir una linea fractal siempre habrá objetos más pequeños que escaparán a la sensibilidad de los instrumentos que utilicemos, por precisos que sean (y a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea). Así, como la longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento con que la midamos, no nos sirve la noción tradicional de longitud. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal.

Algo así. abrazo

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Re: Los fractales del conjunto de Mandelbrot

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